In una radiazione elettromagnetia in una cavit\`a
$$
P = \frac{u}{3}
$$
se uno pratica un foro trova la legge di Stefan Boltzmann
$$
J \equivs I  \ ed \ anche J =\sigma T^4= \frac{c}{4} u
$$
dalle legge della termodinamica

Legge di Wien: lo spettro della radiazione emessa ha un massimo che
\`e tale che 
$$
\lambda_{max} T = 2.8979 \, 10^{-3} \ mK
$$
abbiamo visto che la densit\`a di energia \`e rispetto alla frequenza
$u_\nu$ e quella alla lunghezza d'onda $u_\lambda$ sono legate da
$$
u_\nu (\nu ,T) = u_\lambda (\lambda , T) |\frac{d\lambda}{d \nu} |
$$
dove $\frac{d\lambda}{d \nu} = - \frac{c}{\nu^2}$
sperimentalmente si trova che l'area sotto la curva 
{\bf GRAFICO A GOBBA} 
\`e eguale ad
$$
\int_0^{+\infty} d\nu u_\nu (\nu,T) = u
$$
a frequenze pi\`u elevate si sposta il massimo e l'area aumenta.

Se ogni onda piana con una determinata frequenza associamo un
oscillatore armonico, se questo \`e in equilibrio alla temperatura T,
si ha
$$
u_\lambda (\lambda, T)=k_B T N(\lambda)= k_B T \frac{8
  \pi}{\lambda^4}\\
u_\nu (\nu, T)= k_B T \frac{8 \pi}{c^3} \nu^2\\
% grafa che unisce le due formule
$$
dove $k_B$ \`e l'energia di ogni singola onda piana. Dato dall'analisi
di rayler

Se prendiamo un'oscillatore armonico unidimensionale
$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2} x^2
$$
dove $\omega$ \`e l'oscillazione angolare.
si trova che densit\`a di probabilit\`a
$$
P(p,x) = \frac{1}{Z} e^{-\beta (\frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}
  x^2)}
$$
dove 
$$
Z = \int_{-\infty}^{+\infity} dp dx e^{-\beta (\frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}
$$

possiamo scrivere che 
$$
\frac{p}{\sqrt{2m}} = \epsilon \cos{\theta}\\
x \omega \sqrt{\frac{m}{2}} = \epsilon \sen{\theta}\\
$$

$$
\frac{\partial (p,x)}{\partial (\epsilon, \theta) = \yacobianodi \\
| \squrt{2 m} \frac{\cos{\theta}}{2 \sqrt{\epsilon}}  -------
\frac{1}{\omega} \sqrt{\frac{2}{m}} \frac{\sen{\theta}}{\sqrt{2
    \epsilon}} | \\
|-\sqrt{2 m} \sqrt{\epsilon \sin{\theta}} ------
\frac{\sqrt{\epsilon}}{\omega}...... incompleto
$$

integrale di $Z$
$$
Z = \frac{2 \pi}{\omega} \int_0^{+\infity} d\epsilon e^{-\beta
  \epsilon} = \frac{2 \pi}{\omega} \frac{1}{\beta}
$$

$$
<H> = \frac{1}{\beta} = k_B T
$$ cvd.

ricordiamo che 
$$
Z \proporzionale \int_0^{+\infity} d\epsilon e^{-\beta \epsilon}
$$ 
queta formula vale solo in questo caso, non vale in genere.

Planck ha detto che l'energia \`e $\epsilon = n \plank \nu$ dove $n
\appartiene ad Naturali$
che equivale ad una somma di Riemann $ \planck \nu \sum_{n>= 0)
  e^{-\beta \plank n \nu} = \frac{1}{1 - e^{-\beta \plank \nu} $
%MANCANO ALCUNE PARTI, SPENTO IL COMPUTER

$$
Z \propozionale \frac{1}{e^{-\beta \plank \nu}
$$
$$
-> <n> \plank \nu = \frac{\partial}{\partial \beta} \log{Z_p} =
\frac{e^{-\beta \plank \nu} \plank \nu}{1 - e^{-\beta \plank \nu}} =
$$








$$
d\nu u_\nu (\nu,T) = d\nu \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} -->>>\\
parentesi k_B T per RJ \\
\frac{\planck \nu}{e^{\beta \plank \nu} -1} per Plank
$$
il primo termine $d\nu u_\nu (\nu,T) = d\nu \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}$ 
\`e la densit\`a di modi del C.E. con $freq
\appartiene (\nu , \nu + d\nu)$

GRAFICO DI CIRCA UNA PARABOLA
andamento qualitativo della $u_\nu$ e sperimentalmente si trova che
$\plank = 6.6252 \ 10^{-34} \ J \, sec$


Si possono derivare alcune cose.
$$
u_\lambda (\lambda,T) = \frac{8 \pi \plank c}{(T \lambda)^5}
\frac{1}{e^{\frac{\plank c}{k_B T \lambda}} -1} = T^5 f(\lambda,T) 
$$
utilizzando il cambio di variabili, come precedentemente.
dove 
$$
f(\lambda,T) =  \frac{8 \pi \plank c}{Z^5}
\frac{1}{e^{\frac{\plank c}{k_B T \lambda}} -1}
$$


$$
0 = \frac{\partial}{\partial \lambda} u_x(\lambda, T) = T^5 T
f'^{(Z)} \rigaverticale_{Z= \lambda T}
$$

$f'^{(Z_0)} = 0$ e $Z_0 = 2.8979 \ 10^{-3} \ K M$

tramite La legge di stefan boltzman vogliamo controllare che la
costante di prima sia verificata anche in questo caso.
$$
\int_0^{+\infity} d\nu \frac{8 \pi \nu^3 \frac{\plank}{c^3}}{e^{\beta
    \plank \nu} -1} = \frac{1}{(\beta \plank)^4} \frac{8 \pi
  \plank}{c^3} \int_0^{+\infity} dx \frac{x^3}{e^x -1}
$$
dove $x = \beta \plank \nu$
L'integrale vale $\pi^4/15$
$$
=> T^4 \frac{8 \pi (k_B \pi)^4}{(\plank c)^3 15} = \frac{4}{c} \sigma
T^4
$$
ricavando $\sigma$ si trova che 
$$\sigma= \frac{2}{15}
\frac{\pi^5}{c^2} \frac{k_B^4}{\plank^3} = 5.67..... \ 10^{-8} \
\frac{W}{m^2 K^4}
$$

il valore torna anche con i dati sperimentali


I ralt\`a l'energia di un onda elettromagnetica ha un'eneriga
discrietizzata, $n$ i fotoni con ognuno energia $\plank \nu$, e in totale
$E = n \plank \nu$

$$
\int_0^{+\infity} \frac{V u_\nu (\nu,T) d\nu}{\plank \nu} = N_{photons}
$$
numero di fotoni corrispondenti ad un onda con densit\`a di energia
$u_\nu()$
e integrando


\section{Dare una stima della temeratura terrestre}
La temperatrura \`e determinata principalmente dalla radiazione
solare. Il sole ha una temeratura di circa $T_0 = 5750 \ K$

il flusso del sole vale
$$
J = \sigma T_-^4
$$
dalla legge di Stefan-Boltzmann.

Il raggio solare \`e di $R_0 = 7 \, 10^8 \ m$
l'energia totale irradiata dal sole per unit\`a di tempo \`e di 
$$
4 \pi R_0^2 \sigma T_0^4
$$
alla distanza $d= 1.49 \, 10^{11} \ m$ il flusso di energia per $m^2$ \`e di
$$
\frac{4 \pi R_0^2 \sigma T_0^4}{4 \pi d^2} = Q
$$
\`e detta costante solare e vale $Q = 1368 \ \frac{W}{m^2}$.

L'energia che riceve la terra dal sole \`e il flusso integrato su
tutta la superfice tenendo conto anche della normale della superfice
della terra. Il risultato \`e di 
$$
\int Q \hat{q} \cdot \hat{n} d\Sigma = Q \pi R_T^2
$$
e deve essere eguale alla enegia che emette la terra, approsimanta
come corpo nero
$$
\frac{4 \pi R_0^2 \sigma T_0^4}{4 \pi d^2}  \pi R_T^2 = 
\sigma T^2 4 \pi R_T^2
$$
e semplificando ottengo
$$
T = T_0 \sqrt{\frac{R_0}{2 d}} = 278.7 \ K
$$




Senza fare alcuna misura dello spettro, per ricavare $T_0$ del sole,
potevamo dedurre che gli organismi viventi hanno ottimizzato la loro
situazione ottenedo la massiama energia dove essa \`e massia, cio\'e
alla lunghezza d'onda in cui la densit\`a \`e massima.



\subsubsection{esercizio}

sfera di $d = 10 \ cm$ , $T = 10^6 \ K$

vedi appunti scritti a mano!



